Площа трикутника

Як знайти площу трикутника?

Обчислити площу трикутника можна за такими формулами:

1. Знаходження площі трикутника через дві сторони та кут між ними за формулою:

Для розрахунку площі трикутника через синус необхідно знати довжини двох його сторін і кут між ними. Формула для цього розрахунку виглядає наступним чином:

S = (a * b * sin(C)) / 2

де S – площа трикутника, a і b – довжини двох сторін, а С – кут між ними (у радіанах), sin – функція синуса.

2. Обчислення площі трикутника через основу та висоту за формулою:

Для обчислення площі трикутника за допомогою основи та висоти використовується формула:

S = (a * h) / 2,

де S – площа трикутника, a – довжина основи, h – висота, опущена на основу.

Наприклад, для трикутника з основою a = 6 та висотою h = 4, використаємо формулу для обчислення площі:

S = (6 * 4) / 2 = 12.

Таким чином, площа трикутника дорівнює 12 квадратних одиниць.

3. Знаходження площі трикутника через описане коло та сторони за формулою:

S = (a * b * c) : (4 * R), де a, b, c – сторони, R – радіус описаного кола.

Візьмемо трикутник зі сторонами a = 3, b = 4 та c = 5.

Спочатку знайдемо радіус описаного кола за формулою:

R = (a * b * c) / (4S), де S – площа трикутника.

Для знаходження площі трикутника використаємо формулу Герона:

s = (a + b + c) / 2 # півпериметр трикутника S = sqrt(s * (s – a) * (s – b) * (s – c)) # площа трикутника

s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 S = sqrt(6 * (6 – 3) * (6 – 4) * (6 – 5)) = 6

R = (3 * 4 * 5) / (4 * 6) = 5/2

Отже, маємо радіус описаного кола R = 5/2.

Тепер можна використати формулу для обчислення площі трикутника через радіус описаного кола:

S = (a * b * c) / (4 * R) = (3 * 4 * 5) / (4 * (5/2)) = 6.

Отже, площа трикутника зі сторонами a = 3, b = 4 та c = 5 дорівнює 6 квадратним одиницям.

4. Обчислення площі трикутника через вписане коло та сторони за формулою:

S = r * (a + b + c) : 2, де a, b, c – сторони, r – радіус вписаного кола.

Щоб розрахувати площу такого трикутника, потрібно знати довжини всіх сторін і радіус вписаного кола. Радіус – це половина діаметра. Тобто, якщо за умовами дана довжина діаметра, її необхідно просто поділити навпіл.

Розрахуємо цей приклад зі сторнами a = 2, b = 3 та c = 4.

За формулою, щоб знайти площу трикутника через радіус вписаного кола, спочатку треба знайти радіус вписаного кола за формулою:

r = sqrt((p – a) * (p – b) * (p – c)) / p

де p – півпериметр трикутника, що обчислюється як

p = (a + b + c) / 2

Таким чином, маємо:

p = (2 + 3 + 4) / 2 = 4.5

r = sqrt((4.5 – 2) * (4.5 – 3) * (4.5 – 4)) / 4.5 ≈ 0.5

Отже, радіус вписаного кола дорівнює близько 0.5.

Тепер можна використати формулу для обчислення площі трикутника через радіус вписаного кола:

S = r * (a + b + c) / 2 = 0.5 * (2 + 3 + 4) / 2 = 0.5 * 4.5 = 2.25

Отже, площа трикутника зі сторонами a = 2, b = 3 та c = 4 дорівнює 2.25 квадратних одиниць.

 

5. Знаходження площі трикутника за стороною та двома прилеглими кутами за формулою:

Для знаходження площі трикутника за стороною та двома прилеглими кутами можна скористатися формулою:

S = (a^2 * sin(B) * sin(C)) / (2 * sin(A))

де a – довжина сторони, B і C – прилеглі кути, A – доповнюючий кут до 180 градусів від кутів B і C, sin – функція синуса.

Отже, щоб знайти площу трикутника, потрібно знати довжину сторони та величини двох прилеглих кутів.

Наприклад, якщо дано, що сторона трикутника a = 5 одиниць, а прилеглі кути B = 30 градусів та C = 60 градусів, то для знаходження площі трикутника можна застосувати формулу:

A = 180 – B – C = 90 градусів

S = (5^2 * sin(30) * sin(60)) / (2 * sin(90)) ≈ 10.83

Отже, площа трикутника з довжиною сторони 5 одиниць та прилеглими кутами 30 і 60 градусів дорівнює близько 10.83 квадратних одиниць.

6. Обчислення площі трикутника за формулою Герона

Для початку потрібно порахувати різницю напівпериметра і кожної його сторони. Потім знайти добуток отриманих чисел, помножити їхній результат на напівпериметр і потім знайти корінь з отриманого числа.

S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c)​, де a, b, c — сторони, p — напівпериметр, який можна знайти за формулою: p = (a + b + c) : 2

Обчислення площі прямокутного трикутника

Площу трикутника з кутом 90° за двома сторонами можна знайти за формулою.

S = 0,5 * a * b, де a, b — сторони. Для розрахунку площі прямокутного трикутника з катетами a та b можна використати формулу:

S = (a * b) / 2

де S – площа трикутника, a та b – довжини катетів.

Отже, якщо дано, що катет a дорівнює 8 см, а катет b дорівнює 6 см, то для знаходження площі трикутника можна застосувати формулу:

S = (8 * 6) / 2 = 24 (квадратні сантиметри)

Отже, площа прямокутного трикутника з катетами 8 см та 6 см дорівнює 24 квадратні сантиметри.

Площу трикутника за гіпотенузою та гострим кутом знаходять за формулою:

S = 0,25 * c² * sin(2α), де c — гіпотенуза, α — будь-який із прилеглих гострих кутів.

Гіпотенузою прийнято називати сторону, яка лежить навпроти прямого кута.

Площу прямокутного трикутника за катетом і прилеглим кутом знаходять за такою формулою:

S = 0,5 * a² * tg(α), де a — катет, α — прилеглий кут.

Катетом заведено називати одну з двох сторін, що утворюють прямий кут.

Площу трикутника через гіпотенузу і за радіусом вписаного кола можна знайти за цією формулою:

S = r * (r + c), де c — гіпотенуза, r — радіус вписаного кола.

Площу трикутника вписаного в коло знаходять за формулою:

S = c₁ * c₂, де c₁, c₂ — частини гіпотенузи.

Обчислення площі трикутника за формулою Герона.

S = (p − a) * (p − b), где a, b — катети, p — напівпериметр, який розраховується за формулою p = (a + b + c) : 2.

Знаходження площі рівнобедреного трикутника

1. Знаходження площі через основу та сторону

S = b : 4 * √ 4 * a² − b², де a — бічна сторона, b — основа.

2. Обчислення площі через основу та кут

S = 0,5 * a * b * sin(α), де a — бічна сторона, b — основа, α — кут між основою і стороною.

3. Обчислення площі через основу та висоту

Нагадаємо, що трикутник називається рівнобедреним, якщо його дві сторони рівні. Рівні сторони називаються бічними сторонами розглянутого трикутника, а третя сторона – основою.

S = 0,5 * b * h, где b — основа, h — висота, проведена до основи.

Для обчислення площі трикутника за основою та висотою, використовується формула:

S = (b * h) / 2

де S – площа трикутника, b – довжина основи, h – висота, опущена на основу трикутника.

Наприклад, якщо довжина основи трикутника дорівнює 10 см, а висота опущена на цю основу – 6 см, то площа трикутника буде:

S = (10 * 6) / 2 = 30 (квадратних сантиметрів)

Отже, площа трикутника з основою 10 см та висотою 6 см дорівнює 30 квадратних сантиметрів.

4. Знаходження площі через бічні сторони та кут між ними

 

S = 0.5 * a^2 * sin(β)

де S – площа трикутника, a – довжина бічної сторони, β – кут між бічними сторонами.

Наприклад, якщо бічна сторона трикутника дорівнює 6 см, а кут між бічними сторонами – 45 градусів, то площа трикутника буде:

S = 0.5 * 6^2 * sin(45°) ≈ 12.7 (квадратних сантиметрів)

Отже, площа трикутника з бічною стороною 6 см і кутом між бічними сторонами 45 градусів дорівнює приблизно 12.7 квадратних сантиметрів.

Площу рівнобедреного трикутника через основу і кут між бічними сторонами обчислюють за формулою:

S = b² : (4 * tgα/2), де b — основа, α — кут між бічними сторонами.

Знаходження площі рівностороннього трикутника

Обчислення площі трикутника в якого сторони рівні через радіус описаного кола за формулою:

S = (3 * √ 3 * R²) : 4, де R — радіус описаного кола.

Обчислення площі трикутника з рівними сторонами через радіус вписаного кола за формулою:

S = 3 * √ 3 * r², де r — радіус вписаного кола.

Обчислення площі рівностороннього трикутника через сторону:

існує формула для обчислення площі рівностороннього трикутника через довжину його сторони:

S = (√ 3 * a^2) : 4

де S – площа трикутника, a – довжина сторони.

Наприклад, якщо сторона рівностороннього трикутника дорівнює 6 см, то площа трикутника буде:

S = (√ 3 * 6^2) : 4 ≈ 15.59 (квадратних сантиметрів)

Отже, площа рівностороннього трикутника зі стороною 6 см дорівнює приблизно 15.59 квадратних сантиметрів.

Обчислення площі трикутника в якого сторони рівні через висоту за формулою:

Для обчислення площі трикутника з рівними сторонами a можна скористатись формулою:

S = (a^2 * √3) / 4

Наприклад, якщо сторона трикутника дорівнює 6 см, то площа трикутника буде:

S = (6^2 * √3) / 4 ≈ 15.59 (квадратних сантиметрів)

Отже, площа трикутника з рівними сторонами 6 см дорівнює приблизно 15.59 квадратних сантиметрів.

Таблиця всіх формул знаходження площі трикутника

У кожної геометричної фігури є своя формула, яку запам’ятати з першого разу дуже складно. Але якщо ви регулярно розв’язуєте задачі і часто їх переглядаєте, то, найімовірніше, більшість із них ви просто зможете самі запам’ятати. Рекомендуємо зберегти в закладках Pinterest (Пінтерест) або роздрукувати таблицю і пізніше використовувати її, як закладку в підручнику або зошиті, і звертатися до неї за потреби.